Asymptotic Analysis - Volume 1, issue 2

Authors: Widom, Harold

Article Type: Research Article

Abstract: In an earlier work and (n+1)-term “heat expansion” was derived for a class of integral operators on bounded domains of Rn . A certain condition was required without which the expansion could be incorrect. In this paper it is shown that even without this condition n terms of the expansion are correct. In addition, two classes of examples are given where the condition is satisfied.

DOI: 10.3233/ASY-1988-1201

Citation: Asymptotic Analysis, vol. 1, no. 2, pp. 95-103, 1988

Authors: Guillemin, V. | Uribe, A.

Article Type: Research Article

Abstract: The ground-state eigenvalues of the Laplace operator on the nth tensor power of a line bundle are shown to have a simple asymptotic distribution as n tends to infinity provided the connection on the bundle is sufficiently twisted.

DOI: 10.3233/ASY-1988-1202

Citation: Asymptotic Analysis, vol. 1, no. 2, pp. 105-113, 1988

Authors: Cioranescu, Doina | Donato, Patrizia

Article Type: Research Article

Abstract: We consider the Neumann problem in a domain with periodic holes. The size of the basic cell and of the holes is of order of ε. Some homogenization theorems are proved. There are essentially two limit cases as ε→0. In the first one the mean value of the data on the boundary of the holes is nonzero. This term gives rise to a nonzero contribution in the right-hand side of the homogenized equation. In the second case, when this mean value is zero, the same homogenized equation as for the homogeneous Neumann problem is obtained. General Fourier conditions are also …treated. Show more

DOI: 10.3233/ASY-1988-1203

Citation: Asymptotic Analysis, vol. 1, no. 2, pp. 115-138, 1988

Authors: Atkinson, F.V. | Peletier, L.A.

Article Type: Research Article

Abstract: We consider positive radial solutions of the equation −Δu=λuq +u(N+2)/(N−2) 1≤q<(N+2)/(N−2) in the unit ball B in RN , which vanish on the boundary. For c>0, let λ(c) and u(·,c) as denote the eigenvalue and eigenfunction with the property that u(0,c)=c. In this paper we obtain precise estimates for λ(c) and u(·,c) as c tends to infinity.

DOI: 10.3233/ASY-1988-1204

Citation: Asymptotic Analysis, vol. 1, no. 2, pp. 139-160, 1988

Authors: Zuazua, Enrike

Article Type: Research Article

Abstract: On considère des équations d'évolution abstraites de la forme u″+Lu+B(t,u′)=0, où L∈ℒ(V,V′), V étant un espace de Hilbert tel que V⊂L2 (Ω) (Ω ouvert borné de Rn ) avec injection continue et dense et {B(t,·)}t≥0 est une famille d'opérateurs non-linéaires qui envoient V dans V′. Lorsque L est coercif dans V, on donne, en imposant des conditions de coercivité et de croissance sur {B(t,·)}t≥0 , des estimations sur la vitesse de convergence vers zéro de la différence de deux solutions quelconques du problème. La technique qu'on utilise repose sur la construction de fonctionnelles d'énergie (de Liapunov) adaptées au problème …et pour lesquelles on obtient des inégalités différentielles conduisant aux estimations désirées. Les résultats s'appliquent, par exemple, à l'équation des ondes semilinéaire dissipative utt −Δu+g(ut )=h dans R+ ×Ω, u=0 sur R+ ×∂Ω On démontre, en particulier, que si h∈L∞ (R+ ,L2 (Ω)), g(s)~|s|p−1 s lorsque |s|→0 avec p > 1 et g(s)~|s|q−1 s lorsque |s|→+∞ avec q≥1, (n−2)q≤n+2, la norme dans l'espace de l'énergie de la différence de deux solutions quelconques du problème tend vers zéro comme t−1/(p−1) lorsque t→+∞. Par ailleurs, lorsque le noyau de l'opérateur L est non-trivial, on estime la vitesse de convergence des solutions vers le noyau. Lorsque le noyau est unidimensionnel, on démontre la convergence de chaque trajectoire precompacte vers un état d'equilibre. Ces résultats s'appliquent à une équation des ondes de la forme utt −Δu−λ1 u+g(ut )=0 dans R+ ×Ω, u=0 sur R+ ×∂Ω λ1 étant la première valeur propre de −Δ dans H1 0 (Ω). On démontre, en particulier, que si g(s)~|s|p−1 s lorsque |s|→0 avec p∈[1,2[ et g(s)~|s|q−1 s lorsque |s|→+∞ avec q≥1, (n−2)q≤n+2, alors pour chaque solution u il existe c∈R tel que u(t)→cζ1 dans H1 0 (Ω) lorsque t→+∞, où ζ1 désigne une fonction propre associée à λ1 . Show more

DOI: 10.3233/ASY-1988-1205

Citation: Asymptotic Analysis, vol. 1, no. 2, pp. 161-185, 1988