Affiliations: Département de Mathématiques, Université de Paris VII, 2, Place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05, France | Département de Mathématiques, CSP, Université Paris Nord, Avenue J.B. Clement, 93430 Villetaneuse, France | Département de Mathématiques, Université de Paris - Sud, 91405 Orsay Cedex, France | Department of Mathematics, University of Michigan, Ann Arbor, MI48109, USA | Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma, 28049 Madrid, Spain
Abstract: On étudie l'équation des ondes y″−Δy=0 dans Ω×(0,∞) (Ω est un domaine borné et régulier de Rn) avec les conditions aux limites dissipatives y=(∂/∂v)(Gy′) sur ∂Ω×(0,∞), où G=(−Δ)−1:H−1(Ω)→H01(Ω), et des donnees initiales dans L2(Ω)×H−1(Ω). On démontre, par des méthodes de l'analyse microlocale, que toute solution {y(t),y′(t)} converge vers zéro exponentiellement dans L2(Ω)×H−1(Ω) lorsque t→+∞. On démontre en fait la stabilisation pour toute une classe de conditions aux limites qui contient celles ci-dessus et les conditions aux limites classiques y′+∂y/∂v=0. On étudie finalement, par les mêmes méthodes, les conditions aux limites absorbantes. We consider the wave equation y″−Δy=0 in Ω×(0,∞) with boundary conditions y=∂/∂v(Gy′) on ∂Ω×(0,∞) where G=(−Δ)−1:H−1(Ω)→H01(Ω) and initial data in L2(Ω)×H−1(Ω). We prove, by microlocal analysis techniques, that every solution {y(t),y′(t)} decays exponentially to zero in L2(Ω)×H−1(Ω) as t→+∞. In fact, we prove a stabilization result for a class of boundary conditions containing the one above and the classical y′+∂y/∂v=0. We also treat, by the same methods, the wave equation with absorbing boundary conditions.
