Effet d'Aharonov-Bohm sur un état borné de l'opérateur de Dirac

Article type: Research Article

Authors: Parisse, B.

Affiliations: Institut Fourier (URA 188 du CNRS), BP 74, 38402 St Martin d'Heres Cédex, France

Note: [] Correspondance à: B. Paris se, Institut Fourier (DRA 188 du CNRS), BP 74, 38402 St Martin d'Heres Cédex, France.

Abstract: On s'intéresse ici à l'étude lorsque h→0 (en limite semi-classique) de l'opérateur de Dirac défini sur C∞(R3;C4) par: (1) Dt(h)=Σ3j=1αj(hDj+tAj)+α4+V(x).I4, en présence d'un champ magnétique B = rot A nul en-dehors d'un cylindre (ici les αj désignent des matrices 4 × 4 qui anticommutent). Dans le cas de l'opérateur de Schrödinger en dimension 2, si le champ magnétique est nul en-dehors d'un disque, B. Helffer a montré qu'il peut apparaître un effet de flux qui décale les valeurs propres de l'opérateur sans champ magnétique, cet effet de flux est nommé effet d'Aharonov-Bohm. On montre ici qu'il en est de même pour l'opérateur de Dirac et on verra qu'en limite non-relativiste l'effet d'Aharonov-Bohm provoque un découplage des valeurs propres (qui sont de multiplicité paire en l'absence de champ magnétique). In this paper we study the Dirac operator defined on C∞(R3;C4) by: (1) Dt(h)=Σ3j=1αj(hDj+tAj)+α4+V(x).I4, – where the αj are anticommuting 4 × 4 matrices - in the semi-classical limit (h→0). We suppose that the magnetic field B = rot A vanishes outside a cylinder. With analogous hypothesis for the Schrödinger operator in dimension 2 (i.e., B vanishes outside a disc), B. Helffer proved that a flux effect can occur: the eigenvalues are greater than those which correspond to the operator without magnetic field. This is called Aharonov-Bohm effect. Whe show here that the Aharonov-Bohm effect appears for the Dirac operator too. In the non-relativistic limit, we find examples where the Aharonov-Bohm effect splits the double eigenvalues of the fieldless Dirac operator.

DOI: 10.3233/ASY-1995-10301

Journal: Asymptotic Analysis, vol. 10, no. 3, pp. 199-224, 1995