Affiliations: Laboratoire d'Analyse Numérique, Université Pierre et Marie Curie (Paris VI), 75252 Paris Cedex 05, France
Abstract: On considère des équations d'évolution abstraites de la forme u″+Lu+B(t,u′)=0, où L∈ℒ(V,V′), V étant un espace de Hilbert tel que V⊂L2(Ω) (Ω ouvert borné de Rn) avec injection continue et dense et {B(t,·)}t≥0 est une famille d'opérateurs non-linéaires qui envoient V dans V′. Lorsque L est coercif dans V, on donne, en imposant des conditions de coercivité et de croissance sur {B(t,·)}t≥0, des estimations sur la vitesse de convergence vers zéro de la différence de deux solutions quelconques du problème. La technique qu'on utilise repose sur la construction de fonctionnelles d'énergie (de Liapunov) adaptées au problème et pour lesquelles on obtient des inégalités différentielles conduisant aux estimations désirées. Les résultats s'appliquent, par exemple, à l'équation des ondes semilinéaire dissipative utt−Δu+g(ut)=h dans R+×Ω, u=0 sur R+ ×∂Ω On démontre, en particulier, que si h∈L∞(R+,L2(Ω)), g(s)~|s|p−1s lorsque |s|→0 avec p > 1 et g(s)~|s|q−1s lorsque |s|→+∞ avec q≥1, (n−2)q≤n+2, la norme dans l'espace de l'énergie de la différence de deux solutions quelconques du problème tend vers zéro comme t−1/(p−1) lorsque t→+∞. Par ailleurs, lorsque le noyau de l'opérateur L est non-trivial, on estime la vitesse de convergence des solutions vers le noyau. Lorsque le noyau est unidimensionnel, on démontre la convergence de chaque trajectoire precompacte vers un état d'equilibre. Ces résultats s'appliquent à une équation des ondes de la forme utt−Δu−λ1u+g(ut)=0 dans R+×Ω, u=0 sur R+×∂Ω λ1 étant la première valeur propre de −Δ dans H10(Ω). On démontre, en particulier, que si g(s)~|s|p−1s lorsque |s|→0 avec p∈[1,2[ et g(s)~|s|q−1s lorsque |s|→+∞ avec q≥1, (n−2)q≤n+2, alors pour chaque solution u il existe c∈R tel que u(t)→cζ1 dans H10(Ω) lorsque t→+∞, où ζ1 désigne une fonction propre associée à λ1.
